[经验]暴力算法得出“出槽几率”

引子
      《 QQ幻想-飞升》已有近1个月的时间了，关于QQ幻想中“极品”的概念，所有的玩家都十分的有兴趣，也引发了很多版本的讨论，下面单纯在概率上，共同探讨一下“出槽几率”的问题。

问题假说：

        假如使用1件没有槽的60级的装备升级到150级，每次使用3颗第7级的七星石，当装备到150级的时候，有多大概率出现3个槽呢？

事件分析：

        飞升后的装备可以进行升级，升级的时候需要3颗七星石。在升级的过程中，依据七星石的不同，有一定的几率在装备上出现可以镶嵌宝石的槽。七星石有7种，七星石与对应的出槽成功率如下：
         第1级七星石为摇光石，出槽成功率 为0%；
         第2级七星石为开阳石，出槽成功率为0.5%；
         第3级七星石为玉衡石，出槽成功率为1%；
         …
        依据推算，七星石共有7级，每级成功率递增0.5%，第7级的七星石，出槽成功率为3%。
        每次升级的时候，如果都使用3颗第7级的七星石，那么，该次升级，出槽成功率为3 * 3% = 9%。从60级，升级到150级，装备每6级1个档次，总共可以升级15次。
        对应每次的升级，结果是怎样的呢？

第1次升级
        首先，我们看看第1次升级后的结果，即从60级升级到66级。
        第1次升级，依据9%出现槽的几率计算，结果比较明显，9%的几率会出现1个槽，而（100%-9%）=91%的几率会不出现槽。即：
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             升级动作                                      出现0槽的几率        出现1槽的几率
        ------------------------------------------------------------------------------------------------
        第1次升级(60?66)                        91%                              9%
        -------------------------------------------------------------------------------------------------

        我们可以这样来理解这个结果：假如我们使用1,000,000 (100万)件同样的66级装备进行第1次升级，会出现 91%*1,000,000 = 910,000 （91万）件没有槽的66级装备，出现 9% * 1,000,000 = 90,000 (9万)件带有1个槽的66级装备。
        从概率论上讲这100万件装备，可以称之为“样本”，为便于理解，下面就以这个样本来进行逐步分析。

第2次升级
       继续，进行第2次升级。
        第2次进行装备的升级，是从66级升级到72级，并且，是基于第1次的升级结果来进行升级的。我们看到，对100万件样本而言，第1次升级后，有91万件依然0槽，而9万件带有1槽。
      
      先来关注这91万件0槽的装备，在进行第2次升级的时候结果如何。
        依据类似第1次升级的分析计算过程，可以知道，这91万件0槽的66级装备，在进行第2次升级后，其结果会是：
        1）91万件其中的91%，这次升级后不会增加槽，依然会是0槽。即91万*91% = 82.81万件是0槽72级装备；换句话说，占总的100万件样本的 （91% * 91%）；
        2）91万件中另外的9%，这次升级后会增加1槽，即从0槽变成1槽。数量为91万*9% = 8.19 万件是72级装备。占总的100万件样本的 （91%*9%）。
       
       第一次升级后带有1槽的9万件，在进行第2次升级后的结果。计算过程类似，可以看到：
        1）9万件其中的91%，升级后不会增加槽，即依然保留1槽。即 9万 * 91% = 8.19万件依然保留1槽；占总的样本100万件的 （9%*91%）。
        2）9万件中间的9%，升级后会再增加1个槽，即拥有2槽。即 9万 * 9% = 0.81万件（8100件）拥有2槽；占总的样本100万件的（9%*9%）。

        以下汇总一下上面2部分的结果： 
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             升级动作                         出现0槽的几率      出现1槽的几率           出现2槽的几率
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        第1次升级(60?66)           91%                            9%                                 0%
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        第2次升级(66?72)           91%*91%                  91%*9%+9%*91%       9%*9%
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        注意，上述第2次升级的结果数据中，出现0槽的几率是“ 91%*91%”， 91%乘以91%，连着出现两个91%。前1个91%，可以理解为第1次升级后的出现0槽的那个几率（这个几率乘以我们的样本数量100万，就是第1次升级后依然0槽的装备数量了）。后1个91%，可以理解为经过第2次升级后没有增加槽的几率。

        类似，上述第2次升级的几率数据中，出现1槽的几率，出现1个91%*9%，还有一个9%*91%。前面部分的91%*9%，理解为第1次升级后出现0槽的91%的样本在第二次升级时，9%的几率增加了1个槽，变成了1个槽了。后面部分的9%*91%，理解为在第1次升级后已经出现1槽的9%的样本，在第2次升级后，91%的几率没有再增加槽。

       同理，上述第2次升级后，出现2槽的几率，“9%*9%”，可以理解为第1次升级后出现1槽的9%的样本，在进行第2次升级时，其中9%又增加了1个槽。

      整理一下上述结果，得到如下数据：
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             升级动作                         出现0槽的几率      出现1槽的几率           出现2槽的几率
        -------------------------------------------------------------------------------------------------
        第1次升级(60?66)           91%                            9%                                 0%
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        第2次升级(66?72)           82.81%                      16.38%                           0.81%
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第3次升级
       从上面的2次升级中，可以看出，每次升级时，会参考前1次升级的结果，来进行计算。这里就不详细计算了。只列一下计算结果，如下：

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             升级动作                         0槽几率         1槽几率           2槽几率       3槽几率
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        第1次升级(60?66)           91%                 9%                     0%                0%
        -------------------------------------------------------------------------------------------------
        第2次升级(66?72)           82.81%            16.38%              0.81%           0%
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        第3次升级(72?78)           75.36%            22.36%              2.21%           0.07%
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       可以看到，如果装备连续升级了3次，有0.07%的几率，出现3个槽。78级就拥有3个槽的装备，这就是传说中的极品！

升级15次
       按照上述的计算，依次计算了第4次升级、第5次升级，一直到第15次升级，并列了一下升级15次的结果。因为装备上最多只有3个槽，在进行第4次、第5次…升级后，可以看到，因为不会有更多地槽出现，出现3槽的几率呼呼地上升啦。

      升级1~15次，升级后出槽的结果情况参考下表：

  升级后的出槽结果
  装备槽数 装备槽数 装备槽数 装备槽数
升级次数 0 1 2 3
1 91.00% 9.00% 0.00% 0.00%
2 82.81% 16.38% 0.81% 0.00%
3 75.36% 22.36% 2.21% 0.07%
4 68.57% 27.13% 4.02% 0.27%
5 62.40% 30.86% 6.10% 0.63%
6 56.79% 33.70% 8.33% 1.18%
7 51.68% 35.78% 10.61% 1.93%
8 47.03% 37.21% 12.88% 2.89%
9 42.79% 38.09% 15.07% 4.05%
10 38.94% 38.51% 17.14% 5.40%
11 35.44% 38.55% 19.06% 6.95%
12 32.25% 38.27% 20.82% 8.66%
13 29.35% 37.73% 22.39% 10.54%
14 26.70% 36.98% 23.77% 12.55%
15 24.30% 36.05% 24.96% 14.69%

      
后记
       从上面1~15次升级后的结果表格中可以看到，60级没有槽的装备升级到150级时，有14.69%的几率，会出现3个槽；即使没有3个槽，也有24.96%的几率会出现2个槽！几率很高。

写到这里，是不是可以让所有的QQ幻想玩家看到拥有“极品”的希望呢？希望这个小小的讨论结果，可以让大家放下思想的包袱，尽情的“幻想”……